题目内容
5．已知函数f（x）=lnx+ax-a2x2（a≥0）．（1）若x=1是函数y=f（x）的极值点，求a的值；
（2）若f（x）＜0在定义域内恒成立，求实数a的取值范围．
分析 （1）确定函数的定义域，求导函数，利用x=1是函数y=f（x）的极值点，即可求a的值；
（2）分类讨论，利用导数的正负，结合函数的定义域，可得函数的单调区间，求出最大值，即可得出结论．
解答 解：（1）函数定义域为（0，+∞），f′（x）=$\frac{-2{a}^{2}{x}^{2}+ax+1}{x}$
因为x=1是函数y=f（x）的极值点，所以f′（1）=1+a-2a2=0，解得a=-$\frac{1}{2}$或a=1，
因为a＞0，所以a=1；
（2）若a=0，f（x）=lnx＜0在定义域内不恒成立；
若a≠0，则a＞0，f′（x）=$\frac{1}{x}$+a-2a2x=$\frac{1+ax-2{a}^{2}{x}^{2}}{x}$=$\frac{（2ax+1）（-ax+1）}{x}$．
由f′（x）＞0，结合函数的定义域，可得0＜x＜$\frac{1}{2a}$；由f′（x）＜0，结合函数的定义域，可得x＞$\frac{1}{2a}$；
∴函数的单调增区间为（0，$\frac{1}{2a}$）；单调减区间为（$\frac{1}{2a}$，+∞）．
∴x=$\frac{1}{2a}$时取得最大值f（$\frac{1}{2a}$），
∴ln$\frac{1}{2a}$+$\frac{1}{4}$＜0，
∴a＞$\frac{{e}^{\frac{1}{4}}}{2}$．
点评 本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查函数的单调性，正确求导，合理分类是关键．
练习册系列答案
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20．
为检测某种零件的生产质量，检验人员需抽取同批次的零件样本进行检测并评分．若检测后评分结果大于60分的零件为合格零件，评分结果不超过40分的零件将直接被淘汰，评分结果在（40，60]内的零件可能被修复也可能被淘汰．
（I）已知200个合格零件的评分结果的频率分布直方图如图所示．请根据此频率分布直方图，估计这200个零件评分结果的平均数和中位数；
（Ⅱ）根据已有的经验，可能被修复的零件个体被修复的概率如表：
假设每个零件被修复与否相互独立．现有5个零件的评分结果
为（单位：分）：38，43，45，52，58，记这5个零件被修复的个数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．
为检测某种零件的生产质量，检验人员需抽取同批次的零件样本进行检测并评分．若检测后评分结果大于60分的零件为合格零件，评分结果不超过40分的零件将直接被淘汰，评分结果在（40，60]内的零件可能被修复也可能被淘汰．（I）已知200个合格零件的评分结果的频率分布直方图如图所示．请根据此频率分布直方图，估计这200个零件评分结果的平均数和中位数；
（Ⅱ）根据已有的经验，可能被修复的零件个体被修复的概率如表：
| 零件评分结果所在区间 | （40，50] | （50，60] |
| 每个零件个数被修复的概率 | $\frac{1}{3}$ | $\frac{1}{2}$ |
为（单位：分）：38，43，45，52，58，记这5个零件被修复的个数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．