Question

已知函数y₁=x+

4

x

（x≠0），y₂=cosx+

4

cosx

（0＜x＜

π

2

），y₃=

8x

x2+1

（x＞0），y₄=（1+cotx）（

1

2

+tanx）（0＜x＜

π

2

），其中以4为最小值的函数个数是（　　）

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：通过举特例，可得y₁不满足条件． 利用基本不等式可得y₂=4的条件是cosx=2，这不可能，故y₂不满足条件．
利用基本不等式可得y₃的最大值是4，故y₃不满足条件．利用基本不等式可得y₄的最小值为

9

2

，故y₄不满足条件．

解答：解：当x＜0时，y1=x+

4

x

＜0，故y₁不满足条件．
当0＜x＜

π

2

时，cosx∈（0，1），y2=cosx+

4

cosx

≥4，当且仅当cosx=

4

cosx

 即cosx=2时，等号成立．
由于cosx=2 不可能，故y₂的最小值大于4，故y₂不满足条件．
当x＞0时，y3=

8x

x2+1

=

8

x+ 1 x

≤4，当且仅当 x=1时，等号成立．故4是y₃的最大值，故y₃不满足条件．
 当0＜x＜

π

2

时，tanx＞0，cotx＞0，y4=( 1+cotx ) (

1

2

 +2tanx )=

5

2

+2tanx+

1

2

cotx≥

5

2

+2=

9

2

，
 故y₄的最小值为

9

2

．故y₄不满足条件．
 故选：A．

点评：本题主要考查三角函数的最值，基本不等中等号式成立的条件，属于中档题．