题目内容
如图,在四面体PABC中,PC⊥AB,PA⊥BC,点D,E,F,G分别是棱AP,AC,BC,PB的中点.
(1)求证:DE∥平面BCP.
(2)求证:四边形DEFG为矩形.
(3)是否存在点Q,到四面体PABC六条棱的中点的距离相等?说明理由.
（1）见解析 （2）见解析 （3）存在，理由见解析
解析证明:(1)因为D,E分别为AP,AC的中点,
所以DE∥PC.
又因为DE?平面BCP,所以DE∥平面BCP .
(2)因为D,E,F,G分别为AP,AC,BC,PB的中点,
所以DE∥PC∥FG,
DG∥AB∥EF,
所以四边形DEFG为平行四边形.
又因为PC⊥AB,所以DE⊥DG,
所以四边形DEFG为矩形.
(3)解:存在点Q满足条件,理由如下:
连接DF,EG,设Q为EG的中点.
由(2)知,DF∩EG=Q,且QD=QE=QF=QG=
EG.
分别取PC,AB的中点M,N,连接ME,EN,NG,MG,MN.
与(2)同理,可证四边形MENG为矩形,其对角线交点为EG的中点Q,
且QM=QN=EG,
所以Q为满足条件的点.
练习册系列答案
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为正方形，四边形
是直角梯形，
，
平面
．
平面
；
与平面
的底面是边长为2的正三角形，且侧棱垂直于底面，侧棱长是，D是AC的中点。
平面
；
的大小；
与平面
ABCD中,AB⊥AC,AB⊥PA,AB∥CD,AB=2CD,E,F,G,M,N分别为PB,AB,BC,PD,PC的中点
中，D、E分别是BC和
的中点，已知AB=AC=AA1=4，ÐBAC=90°.
⊥平面
；
的余弦值；
的体积.
