Question

（本小题满分10分）如图，在四棱锥S—ABCD中，侧棱SA＝SB＝SC＝SD，底面ABCD是菱形，AC与BD交于O点．

(Ⅰ)求证：AC⊥平面SBD；

(Ⅱ)若E为BC中点，点P在侧面△SCD内及其边界上运动，并保持PE⊥AC，试指出动点P的轨迹，并证明你的结论．

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

(1)证明：∵底面ABCD是菱形，O为中心，

∴AC⊥BD.又SA＝SC，∴AC⊥SO.而SO∩BD＝O，∴AC⊥面SBD.-----5分

(2)解：取棱SC中点M，CD中点N，连结MN，则动点P的轨迹即是线段MN.

证明：连结EM、EN，∵E是BC的中点，M是SC的中点，

∴EM∥SB.同理，EN∥BD，∴平面EMN∥平面SBD，

∵AC⊥平面SBD，∴AC⊥平面EMN.

因此，当点P在线段MN上运动时，总有AC⊥EP；

P点不在线段MN上时，不可能有AC⊥EP.------5分

 

【解析】略