题目内容
设函数f(x)=ax2+bx+c,且f(1)=-,3a>2c>2b,求证:
(1)a>0,且-3<<-
;
(2)函数f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点;
(3)设x1,x2是函数f(x)的两个零点,则≤|x1-x2|<
.
(1)-3<<-
(2)函数f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点.(3)见解析
【解析】(1)由已知得f(1)=a+b+c=-,∴3a+2b+2c=0,
又3a>2c>2b,∴a>0,b<0.
又2c=-3a-2b,∴3a>-3a-2b>2b,
∵a>0,∴-3<<-
.
(2)由已知得f(0)=c,f(2)=4a+2b+c=a-c,
①当c>0时,f(0)=c>0,f(1)=-<0,
∴函数f(x)在区间(0,1)内至少有一个零点;
②当c≤0时,f(1)=-<0,f(2)=a-c>0,
∴函数f(x)在区间(1,2)内至少有一个零点.
综上所述,函数f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点.
(3)∵x1,x2是函数f(x)的两个零点,
∴x1+x2=-,x1x2=
=-
-
,
∴|x1-x2|==
,
∵-3<<-
,∴
≤|x1-x2|<
.

练习册系列答案
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已知集合A、B,定义集合A与B的一种运算A⊕B,其结果如下表所示:
A | {1,2,3,4} | {-1,1} | {-4,8} | {-1,0,1} |
B | {2,3,6} | {-1,1} | {-4,-2,0,2} | {-2,-1,0,1} |
A⊕B | {1,4,6} | ∅ | {-2,0,2,8} | {-2} |
按照上述定义,若M={-2 011,0,2 012},N={-2 012,0,2 013},则M⊕N=________.