题目内容

在等差数列是{a_n}中，已知a₄与a₂与a₈的等比中项，a₃+2是a₂与a₆的等差中项，S_n是前n项和，则满足 $数学公式$ 的所有n值的和为________．

35
分析：由a₄是a₂与a₈的等比中项，a₃+2是a₂与a₆的等差中项，可求得公差、首项，进而得到通项a_n，从而求得S_n及 $\text{[math]}$ ，于是可求出 $\text{[math]}$ ，解不等式 $\text{[math]}$ ，由n的范围可确定n值，其和易求．
解答：设等差数列是{a_n}的公差为d，由a₄是a₂与a₈的等比中项，得 $\text{[math]}$ =（a₁+d）（a₁+7d），化简得 $\text{[math]}$ ①，
由a₃+2是a₂与a₆的等差中项，得2（a₁+2d+2）=（a₁+d）+（a₁+5d），解得d=2，代入①得a₁=d=2．
所以a_n=a₁+（n-1）•d=2n，
则 $\text{[math]}$ =n（n+1），
所以 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
则 $\text{[math]}$ =1- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ =1- $\text{[math]}$ ，
由已知得 $\text{[math]}$ ＜1- $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ＜n＜ $\text{[math]}$ ，
又n∈Z，所以n=5，6，7，8，9，且5+6+7+8+9=35，
故答案为：35．
点评：本题考查等差数列与等比数列的综合、数列求和问题，属中档题，通项公式、求和公式及相关基本方法是解决问题的基础．