题目内容
假设你已经学习过指数函数的基本性质和反函数的概念，但还没有学习过对数的相关概念．由指数函数f（x）=ax（a＞0且a≠1）在实数集R上是单调函数，可知指数函数f（x）=ax（a＞0且a≠1）存在反函数y=f-1（x），x∈（0，+∞）．请你依据上述假设和已知，在不涉及对数的定义和表达形式的前提下，证明下列命题：（1）对于任意的正实数x1，x2，都有f-1（x1x2）=
；（2）函数y=f-1（x）是单调函数．
【答案】分析：（1）利用指数函数的性质和反函数的定义即可证明；
（2）对底数a分a＞1与0＜a＜1讨论，利用指数函数的单调性即可证明．
解答：证明：（1）设
，
，
由题意，有
，
，
∴
，
∴
，即f-1（x1x2）=f-1（x1）+f-1（x2）．
（2）当a＞1时，y=f-1（x）是增函数．
证明：设x1＞x2＞0，即
，
又由指数函数y=ax（a＞1）是增函数，得y1＞y2，即
．
∴当a＞1时，y=f-1（x）是增函数．
同理，当0＜a＜1时，y=logax是减函数．
点评：熟练掌握指数函数的单调性和反函数的定义是解题的关键．
（2）对底数a分a＞1与0＜a＜1讨论，利用指数函数的单调性即可证明．
解答：证明：（1）设
，，由题意，有
，，∴
，∴
，即f-1（x1x2）=f-1（x1）+f-1（x2）． （2）当a＞1时，y=f-1（x）是增函数．
证明：设x1＞x2＞0，即
，又由指数函数y=ax（a＞1）是增函数，得y1＞y2，即
． ∴当a＞1时，y=f-1（x）是增函数．
同理，当0＜a＜1时，y=logax是减函数．
点评：熟练掌握指数函数的单调性和反函数的定义是解题的关键．
练习册系列答案
相关题目
；