Question

（2008•卢湾区二模）已知F₁、F₂为椭圆的两个焦点，A为它的短轴的一个端点，若该椭圆的长轴长为4，则△AF₁F₂面积的最大值为

2

．

Answer 1

分析：利用三角形的面积求出△AF₁F₂面积关于b，c的表达式，利用椭圆中参数a，b，c的关系结合基本不等式求面积的最大值即可．

解答：解：设椭圆的短轴长为：2b，长轴长为2a，焦距为2c，
则由题意得：2a=2，b²+c²=a²=4，
△AF₁F₂面积S=

1

2

×2c×b=bc，
根据基本不等式得：bc≤

b 2+c 2

2

=2，
当且仅当b=c时取等号，
则△AF₁F₂面积的最大值为2．
故答案为：2．

点评：本题考查椭圆的简单性质、等价转化的能力、基本不等式在最值问题中的应用，考查运算能力，属中档题．