Question

12．如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=1，AB=AD=2，E、F分别是AB、BC的中点，证明A₁、C₁、F、E四点共面，并求直线CD₁与平面A₁C₁FE所成的角的大小．

Answer 1

分析 利用长方体的几何关系建立直角坐标系．利用向量方法求空间角．

解答 解：连接AC，因为E，F分别是AB，BC的中点，所以EF是△ABC的中位线，所以EF∥AC．由长方体的性质知AC∥A₁C₁，
所以EF∥A₁C₁，
所以A₁、C₁、F、E四点共面．
以D为坐标原点，DA、DC、DD₁分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，易求得
$\overrightarrow{{D}_{1}C}=（0，2，-1）$
$\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}=（-2，2，0）$，$\overrightarrow{{A}_{1}E}=（0，1，-1）$
设平面A₁C₁EF的法向量为$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}E}=0}\end{array}\right.$，所以$\left\{\begin{array}{l}{（x，y，z）•（-2，2，0）=0}\\{（x，y，z）（0，1，-1）=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-2x+2y=0}\\{y-z=0}\end{array}\right.$，
z=1，得x=1，y=1，所以$\overrightarrow{n}=（1，1，1）$，
所以$|cos＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{{D}_{1}C}＞|=\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{D}_{1}C}|}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{{D}_{1}C}|}$=$\frac{|（1，1，1）•（0，2，-1）|}{\sqrt{3}\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{15}}{15}$，
所以直线CD₁与平面A₁C₁FE所成的角的大小arcsin$\frac{\sqrt{15}}{15}$．

点评 本题主要考查利用空间直角坐标系求出空间角的方法，属高考常考题型．