题目内容

(本小题满分14分)
如图,四棱锥的底面为菱形,平面, E、F分别为的中点,

(Ⅰ)求证:平面平面
(Ⅱ)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
(Ⅰ)先证得
再证得.由,证出平面,所以,平面平面
(Ⅱ)平面与平面所成的锐二面角的余弦值为

试题分析:(Ⅰ)∵四边形是菱形,

中,

,即
,   ∴.…………………2分
平面平面
.又∵
平面,………………………………………4分
又∵平面
平面平面.  ………………………………6分
(Ⅱ)解法一:由(1)知平面,而平面
∴平面平面 ………………………7分
平面,∴
由(Ⅰ)知,又
平面,又平面
∴平面平面.…………………………9分
∴平面是平面与平面的公垂面.
所以,就是平面与平面所成的锐二面角的平面角.……10分
中,,即.……………11分


所以,平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.…………14分

理(Ⅱ)解法二:以为原点,分别为轴、轴的正方向,建立空间直角坐标系,如图所示.因为,所以,
,…………7分
.………8分
由(Ⅰ)知平面
故平面的一个法向量为.……………………9分
设平面的一个法向量为
 ,即,令
.    …………………11分

所以,平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.……14分
点评:典型题,立体几何题,是高考必考内容,往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中,有“几何法”和“向量法”。利用几何法,要遵循“一作、二证、三计算”的步骤,本题解法较多二应用向量则简化了证明过程。
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