题目内容
(本小题满分14分)
如图,四棱锥的底面为菱形,平面,, E、F分别为的中点,.
(Ⅰ)求证:平面平面.
(Ⅱ)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
如图,四棱锥的底面为菱形,平面,, E、F分别为的中点,.
(Ⅰ)求证:平面平面.
(Ⅱ)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
(Ⅰ)先证得.
再证得.由,证出平面,所以,平面平面.
(Ⅱ)平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.
再证得.由,证出平面,所以,平面平面.
(Ⅱ)平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.
试题分析:(Ⅰ)∵四边形是菱形,
∴.
在中,,,
∴.
∴,即.
又, ∴.…………………2分
∵平面,平面,
∴.又∵,
∴平面,………………………………………4分
又∵平面,
平面平面. ………………………………6分
(Ⅱ)解法一:由(1)知平面,而平面,
∴平面平面 ………………………7分
∵平面,∴.
由(Ⅰ)知,又
∴平面,又平面,
∴平面平面.…………………………9分
∴平面是平面与平面的公垂面.
所以,就是平面与平面所成的锐二面角的平面角.……10分
在中,,即.……………11分
又,
∴.
所以,平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.…………14分
理(Ⅱ)解法二:以为原点,、分别为轴、轴的正方向,建立空间直角坐标系,如图所示.因为,,所以,
、、、,…………7分
则,,.………8分
由(Ⅰ)知平面,
故平面的一个法向量为.……………………9分
设平面的一个法向量为,
则 ,即,令,
则. …………………11分
∴.
所以,平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.……14分
点评:典型题,立体几何题,是高考必考内容,往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中,有“几何法”和“向量法”。利用几何法,要遵循“一作、二证、三计算”的步骤,本题解法较多二应用向量则简化了证明过程。
练习册系列答案
相关题目