题目内容
设函数f(x)=x|x|+bx+c(b,c∈R),则下列命题中正确的是( )
A、“b≥0”是“函数y=f(x)在R上单调递增”的必要非充分条件 | ||
B、“b<0,c<0”是“方程f(x)=0有两个负根”的充分非必要条件 | ||
C、“c=0”是“函数y=f(x)为奇函数”的充要条件 | ||
D、“c>0”是“不等式f(x)≥( 2
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分析:本选择题利用直接法解决.由于“c=0”与“函数y=f(x)为奇函数”可以互相推出,即“c=0”是“函数y=f(x)为奇函数”的充要条件,故可直接得出正确答案了.
解答:解:当c=0时,函数f(x)=x|x|+bx,
∴函数f(-x)=-x|-x|+b-x=-(x|x|+bx)=-f(x)
∴函数y=f(x)为奇函数;
反之,当函数y=f(x)为奇函数时,
f(-x)=-f(x)
∴-x|-x|-bx=-(x|x|+bx)
∴2bx=0?b=0.
∴“c=0”是“函数y=f(x)为奇函数”的充要条件
故选C.
∴函数f(-x)=-x|-x|+b-x=-(x|x|+bx)=-f(x)
∴函数y=f(x)为奇函数;
反之,当函数y=f(x)为奇函数时,
f(-x)=-f(x)
∴-x|-x|-bx=-(x|x|+bx)
∴2bx=0?b=0.
∴“c=0”是“函数y=f(x)为奇函数”的充要条件
故选C.
点评:本题考查利用函数的奇偶性的定义判断函数的奇偶性,对充要条件的判断,关键要注意从两方面进行推导,而有些同学会忘记,只证明一方面.

练习册系列答案
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设函数f(x)的定义域为A,若存在非零实数t,使得对于任意x∈C(C⊆A),有x+t∈A,且f(x+t)≤f(x),则称f(x)为C上的t低调函数.如果定义域为[0,+∞)的函数f(x)=-|x-m2|+m2,且 f(x)为[0,+∞)上的10低调函数,那么实数m的取值范围是( )
A、[-5,5] | ||||||||
B、[-
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C、[-
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D、[-
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