题目内容

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c．已知c=2．acosB-bcosA= $数学公式$ ．
（I）求bcosA的值；
（Ⅱ）若a=4．求△ABC的面积．

解：（I）∵acosB+bcosA=a• $\text{[math]}$ +b• $\text{[math]}$ =c
∴由c=2得acosB+bcosA=2，
结合acosB-bcosA= $\text{[math]}$ 联解，可得bcosA=- $\text{[math]}$ ；
（II）由（I）得acosB=2-bcosA= $\text{[math]}$ ，
∵a=4，∴cosB= $\text{[math]}$ ，可得sinB= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
根据正弦定理，得△ABC的面积为
S= $\text{[math]}$ acsinB= $\text{[math]}$ ×4×2× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
分析：（I）根据余弦定理，化简得acosB+bcosA=c=2，结合已知等式联解可得bcosA=- $\text{[math]}$ ；
（II）由（I）的结论得acosB= $\text{[math]}$ ，从而得到cosB= $\text{[math]}$ ，利用同角三角函数关系算出sinB= $\text{[math]}$ ，最后根据正弦定理的面积公式，算出△ABC的面积为S= $\text{[math]}$ acsinB= $\text{[math]}$ ．
点评：本题给出三角形的边角关系，求bcosA的值并求△ABC的面积．着重考查了利用正余弦定理解三角形、同角三角函数的基本关系和三角形面积公式等知识，属于中档题．