题目内容
4.已知函数f(x)满足xf(x)=mx+f(x)-1(m≠1),且f(x)的对称中心为(1,2),则当x>1时,f(x)+x的最小值5.分析 求得f(x)的解析式,由反比例函数的图象特点,可得f(x)的对称中心(1,m),由题意可得m=2,再由当x>1时,f(x)+x=(x-1)+$\frac{1}{x-1}$+3,由基本不等式可得最小值.
解答 解:函数f(x)满足xf(x)=mx+f(x)-1(m≠1),
即有f(x)=$\frac{mx-1}{x-1}$=m+$\frac{m-1}{x-1}$,
由y=$\frac{m-1}{x}$的图象平移可得y=f(x)的图象,
而函数y=$\frac{m-1}{x}$的中心为(0,0),可得y=f(x)的对称中心为(1,m),
由题意可得,m=2,
即f(x)=2+$\frac{1}{x-1}$,
当x>1时,f(x)+x=(x-1)+$\frac{1}{x-1}$+3≥2$\sqrt{(x-1)•\frac{1}{x-1}}$+3=5,
当且仅当x=2时,取得最小值5.
故答案为:5.
点评 本题考查函数的性质及运用,主要考查对称性的判断和应用,考查函数的最值的求法,注意运用基本不等式,属于中档题.
练习册系列答案
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