Question

如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点M∈AB1，N∈BC1，且AM＝BN≠，有以下四个结论：

①AA1⊥MN；②A1C1∥MN；③MN∥平面A1B1C1D1；④MN与A1C1是异面直线．其中正确命题的序号是________．(注：把你认为正确命题的序号都填上)

 

Answer 1

①③

【解析】过N作NP⊥BB1于点P，连接MP，可证AA1⊥平面MNP，得AA1⊥MN，①正确；过M，N分别作MR⊥A1B1，NS⊥B1C1于点R，S，则当M不是AB1的中点，N不是BC1的中点时，直线A1C1与直线RS相交；当M，N分别是AB1，BC1的中点时，A1C1∥RS，所以A1C1与MN可以异面，也可以平行，故②④错误；由①正确知，AA1⊥平面MNP，而AA1⊥平面A1B1C1D1，所以平面MNP∥平面A1B1C1D1，故③正确．