Question

已知集合U=R，集合A={x||x-a|＜2}，f（x）=2+log₃x，x∈[1，9]，设函数g（x）=[f（x）]²+f（x²）的值域为B，
（1）求值域B；　
（2）若A⊆C_UB，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：∵A={x||x-a|＜2}，
∴-2＜x-a＜2，
∴a-2＜x＜2+a
∴A=（a-2，a+2）
∵x∈[1，9]，故0≤log₃x≤2，
∴f（x）=（2+log₃x）∈[2，4]，
∴f（x²）=2+，x²∈[1，9]，x∈[1，3]，
∴函数g（x）=[f（x）]²+f（x）的定义域为[1，3]，
又，
令t=log₃x，则0≤t≤1，
∴g（x）∈[6，13]，即B=[6，13]，
（2）∵C_UB=（-∞，6）∪（13，+∞），
A⊆C_UB，A=（a-2，a+2）
∴a+2≤6或a-2≥13．
∴a≤4或a≥15
分析：（1）可由x∈[1，9]，f（x）=2+log₃x，求得f（x）∈[1，4]，从而可求得函数g（x）=[f（x）]²+f（x²）的值域为B；
（2）由B=[6，13]可求得）C_UB=（-∞，6）∪（13，+∞），A=（a-2，a+2），A⊆C_UB，从而可求得实数a的取值范围．
点评：本题考查函数的值域，着重考查对数函数的性质与复合函数的性质，考查交、并、补集的混合运算，综合性强，属于难题．