Question

已知二次函数y=f（x）的图象经过坐标原点，与x轴的另一个交点为（），且f（）=-，数列{a_n} 的前n项的和为S_n，点（n，S_n）在函数y=f（x）的图象上．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）求数列{a_n} 的通项公式；
（3）设b_n=，求数列 {b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

解：（1）设f（x）=ax²+bx+c（a≠0）…（1分）
由条件可知，…（2分）
解得a=3，b=-2，c=0，…（3分）
∴f（x）=3x²-2x．…（4分）
（2）又点（n，S_n）在函数y=f（x）的图象上，则S_n=3n²-2n…（5分）
当n=1时，a₁=S₁=3-2=1．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=3n²-2n-3（n-1）²+2（n-1）=6n-5…（6分）
对于上式，当n=1时，也有a₁=1，…（7分）
所以通项公式为a_n=6n-5…（8分）
（3）由（2）知a_n=6n-5，b_n==…（9分）
∴T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n
= ①
①×得，= ②---（11分）
①-②有=
=6-=--------------------（13分）
∴T_n=7-3-=7---------------------（14分）
分析：（1）设f（x）=ax²+bx+c（a≠0），由条件列方程组，解之即可；（2）由点（n，S_n）在函数y=f（x）的图象上，可得S_n=3n²-2n，由a_n=S_n-S_n-1可得答案；
（3）由（2）知a_n=6n-5，b_n==，由错位相减法求和即可．
点评：本题考查数列的求和，涉及函数解析式的求解及错位相减法求和，属中档题．