Question

已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）若a，b∈[-1，1]，a+b≠0时，有

f(a)+f(b)

a+b

＞0成立．
（1）判断f（x）在[-1，1]上的单调性，并证明；
（2）解不等式：f（x+

1

2

）＜f(

1

x-1

)；
（3）若f（x）≤m²-2am+1对所有的a∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）任取x₁，x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂，由奇函数的定义将f（x₁）-f（x₂）进行转化，利用所给的条件判断出f（x₁）＜f（x₂）即可；
（2）根据（1）的结论和增函数的定义，以及函数的定义域，列出不等式组求出x的范围；
（3）根据（1）的结论和条件，将问题转化为m²-2am+3≥3，即m²-2am≥0对a∈[-1，1]恒成立，再构造函数g（a）=-2m•a+m²，即g（a）≥0对a∈[-1，1]恒成立，求m的取值范围，需对m进行分类讨论求出此函数的最小值．

解答：解：（1）任取x₁，x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂，则-x₂∈[-1，1]，
∵f（x）为奇函数，
∴f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=

f(x1)+f(-x2)

x1-x2

•（x₁-x₂），
由已知得

f(x1)+f(-x2)

x1-x2

＞0，x₁-x₂＜0，∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴f（x）在[-1，1]上单调递增．
（2）∵f（x）在[-1，1]上单调递增，∴

-1≤x+ 1 2 ≤1 -1≤ 1 x-1 ≤1 x+ 1 2 ＜ 1 x-1

，解得-

3

2

≤x＜-1，
∴不等式的解集为{x|-

3

2

≤x＜-1}．
（3）∵f（1）=3，f（x）在[-1，1]上单调递增，
∴在[-1，1]上，f（x）≤3，即m²-2am+3≥3，
∴m²-2am≥0对a∈[-1，1]恒成立，求m的取值范围．
设g（a）=-2m•a+m²≥0，
①若m=0，则g（a）=0≥0，自然对a∈[-1，1]恒成立．
②若m≠0，则g（a）为a的一次函数，若g（a）≥0对a∈[-1，1]恒成立，
则必须g（-1）≥0，且g（1）≥0，∴m≤-2或m≥2．
∴m的取值范围是m=0或m≤-2或m≥2．

点评：本题考查了函数的单调性综合问题，以及恒成立问题、转化思想和分类讨论思想，难度大，考查了学生的分析、解决问题的能力．