题目内容

4.已知不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x-y≥0}\\{x+y≥0}\\{x≤2}\end{array}\right.$所表示的区域为D,|y|=x与|y|=$\frac{1}{2}$x2所围成的区域为M,现随机向区域D内抛一粒豆子,则豆子落在区域M的概率为(  )
A.$\frac{1}{6}$B.$\frac{1}{3}$C.$\frac{1}{2}$D.$\frac{2}{3}$

分析 由题意画出图形,利用定积分求出阴影部分的面积,代入几何概型概率公式得答案.

解答 解:由题意作出平面区域D与M如图,
${S}_{△OAB}=\frac{1}{2}×2×4=4$,
阴影部分的面积为4-2${∫}_{0}^{2}\frac{1}{2}{x}^{2}dx$=$4-2×\frac{1}{6}{x}^{3}{|}_{0}^{2}$=$4-\frac{8}{3}=\frac{4}{3}$.
∴豆子落在区域M的概率为P=$\frac{\frac{4}{3}}{4}=\frac{1}{3}$.
故选:B.

点评 本题考查简单的线性规划,考查了几何概型概率的求法,训练了利用定积分求曲边梯形的面积,属中档题.

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