Question

已知函数f（x）=x²-2x，g（x）=x²-2x，x∈[2，4]
（1）求f（x），g（x）函数的值域；
（2）函数H（x）=f（x-c）+g（x+c）定义域为[8，10]，求c．
（3）函数H（x）=f（x-c）+g（x+c）（c≤0）的最大值为32，求c的值．

Answer 1

分析：（1）通过配方，利用区间和抛物线对称轴之间的关系确定函数的值域．
（2）利用复合函数的定义域的求法，去求c．
（3）先求出H（x）的表达式，利用函数的最大值为32，确定条件关系，然后求c．

解答：解（1）因为f（x）=x²-2x=（x-1）²-1，函数f（x）的定义域为R，所以f（x）≥-1，
即函数f（x）的值域[-1，+∞）．
因为g（x）=x²-2x=（x-1）²-1，且x∈[2，4]，所以g（x）的最大值为g（4）=8，最小值为g（2）=0，
所以g（x）的值域[0，8]..…..（4分）
（2）因为g（x），x∈[2，4]，所以要使H（x）由意义，设H（x）定义域M，
由题意得 M={x|2≤x+c≤4}，即M={x|2-c≤x≤4-c}，所以有2-c=8，所以c=-6．（4分）

(3)H(x)=f(x-c)+g(x+c) =(x-c)2-2(x-c)+(x+c)2-2(x+c) =2x2-4x+2c2，

由（2）知，当c≤0时，函数的定义域为[2-c，4-c]，
因为 c≤0，所以函数在[2-c，4-c]上单调递增，
由已知函数H（x）=f（x-c）+g（x+c）的最大值32，所以H（4-c）=24，
有c²-3c-4=0，解得c=4或c=1．舍去c=4，所以c=1…．（4分）

点评：本题主要考查了二次函数的图象和性质以及复合函数的定义域，配方法是解决二次函数最值问题的基本方法，要熟练掌握．