Question

如图直三棱柱ABB₁-DCC₁中，∠ABB₁=90°，AB=4，BC=2，CC₁=1，DC上有一动点P，则△APC₁周长的最小值是

 

．

Answer 1

分析：不妨令CP=a，则DP=4-a，分别在直角三角形ADC中求AP，在直角三角形C₁PC求出C₁P，在直角三角形C₁CA求出C₁A，然后相交求周长．将周长表示为参数a的函数，由于a∈[0，4]，在这个区间上求出周长的最小值即可．

解答：解：DC上有一动点P，令CP=a，则DP=4-a，
由于直三棱柱ABB₁-DCC₁中，∠ABB₁=90°，AB=4，BC=2，CC₁=1，
∴周长S=AP+C₁P+C₁A=

4+(4-a)2

+

1+a2

+

1+|AC|2

=

4+(4-a)2

+

1+a2

+

1+22+42

=

4+(4-a)2

+

1+a2

+

21

=

[0-(-2)]2+(a-4)2

+

(0-1) 2+(a-0)2

+

21

其中是

[0-(-2)]2+(a-4)2

+

(0-1) 2+(a-0)2

可以看作平面直角坐标系中（a，0）与两点（4，-2）以及（0，1）两点距离和的最小值，由图形中点（a，0）恰好是过两点（4，-2）与（0，1）的直线与x轴的交点时，上式的值最小．
由两点式知过两点（4，-2）与（0，1）的直线的方程是3x+4y-4=0，其与x轴的交点是（

4

3

，0），
即当a=

4

3

时，

[0-(-2)]2+(a-4)2

+

(0-1) 2+(a-0)2

的最小值为两点（4，-2）与（0，1）的距离，其值为

(4-0)2+ (-2-1)2

=5，故周长为5+

21

故答案为5+

21

点评：本题考点是点、线、面之间的距离，考查用勾股定理在直角三角形中求两点间的距离，解答本题的关键是找到所求线段存在的直角三角形，由于本题是一个直三棱柱且其两个侧面垂直，这为找出各求各边所在的直角三角形带来了方便，此做法空间想象能力要求较高，解答本题也可以用空间向量法，请做题时比较一下两种方法在求最值方面的异同．