题目内容
设平面向量
=(
sin(π+x)，2cosx)，
=（-2cosx，cosx），已知函数f（x）=
•
+m在[0，
]上的最大值为6．
（Ⅰ）求实数m的值；
（Ⅱ）若f(x0)=
，x0∈[
，
]．求cos2x0的值．
| a |
| 3 |
| b |
| a |
| b |
| π |
| 2 |
（Ⅰ）求实数m的值；
（Ⅱ）若f(x0)=
| 26 |
| 5 |
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
分析：（Ⅰ）由条件利用两个向量的数量积公式、三角函数的恒等变换化简函数f（x）=
•
+m的解析式为2sin(2x+
)+1+m，结合x的范围，根据f（x）的最大值为6，求得m的值．
（Ⅱ）根据f（x）的解析式，利用条件求得cos(2x0+
)=-
，再根据cos2x0=cos[(2x0+
)-
]，利用两角差的余弦公式求得结果．
| a |
| b |
| π |
| 6 |
（Ⅱ）根据f（x）的解析式，利用条件求得cos(2x0+
| π |
| 6 |
| 4 |
| 5 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
解答：解：（Ⅰ）由题意可得函数f（x）=
•
+m=
sin(π+x)•(-2cosx)+2cos2x+m
=
sin2x+cos2x+1+m=2sin(2x+
)+1+m．
∵x∈[0，
]，2x+
∈[
，
]，
∴2sin(2x+
)∈[-
，1]，∴f（x）max=2+1+m=6，
∴m=3．
（Ⅱ）因为f(x)=2sin(2x+
)+4，
由f(x0)=
得：2sin(2x0+
)+4=
，则sin(2x0+
)=
．
因为x0∈[
，
]，则2x0+
∈[
，
]，
因此cos(2x0+
)＜0，所以cos(2x0+
)=-
，
于是cos2x0=cos[(2x0+
)-
]=cos(2x0+
)cos
+sin(2x0+
)sin
=-
×
+
×
=
．
| a |
| b |
| 3 |
=
| 3 |
| π |
| 6 |
∵x∈[0，
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 7π |
| 6 |
∴2sin(2x+
| π |
| 6 |
| 1 |
| 2 |
∴m=3．
（Ⅱ）因为f(x)=2sin(2x+
| π |
| 6 |
由f(x0)=
| 26 |
| 5 |
| π |
| 6 |
| 26 |
| 5 |
| π |
| 6 |
| 3 |
| 5 |
因为x0∈[
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| 2π |
| 3 |
| 7π |
| 6 |
因此cos(2x0+
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 4 |
| 5 |
于是cos2x0=cos[(2x0+
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 4 |
| 5 |
| ||
| 2 |
| 3 |
| 5 |
| 1 |
| 2 |
3-4
| ||
| 10 |
点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，三角函数的恒等变换，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．
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