题目内容
已知函数f（x）=x3+ax2+bx-a2-7a在x=1处取得极大值10，则
的值为（ ）
| a |
| b |
分析：由于f′（x）=3x2+2ax+b，依题意知，f′（1）=3+2a+b=0，f（1）=1+a+b-a2-7a=10，于是有b=-3-2a，代入f（1）=10即可求得a，b，从而可得答案．
解答：解：∵f（x）=x3+ax2+bx-a2-7a，
∴f′（x）=3x2+2ax+b，
又f（x）=x3+ax2+bx-a2-7a在x=1处取得极大值10，
∴f′（1）=3+2a+b=0，f（1）=1+a+b-a2-7a=10，
∴a2+8a+12=0，
∴a=-2，b=1或a=-6，b=9．
当a=-2，b=1时，f′（x）=3x2-4x+1=（3x-1）（x-1），
当
＜x＜1时，f′（x）＜0，当x＞1时，f′（x）＞0，
∴f（x）在x=1处取得极小值，与题意不符；
当a=-6，b=9时，f′（x）=3x2-12x+9=3（x-1）（x-3）
当x＜1时，f′（x）＞0，当＜x＜3时，f′（x）＜0，
∴f（x）在x=1处取得极大值，符合题意；
∴
=-
=-
．
故选A．
∴f′（x）=3x2+2ax+b，
又f（x）=x3+ax2+bx-a2-7a在x=1处取得极大值10，
∴f′（1）=3+2a+b=0，f（1）=1+a+b-a2-7a=10，
∴a2+8a+12=0，
∴a=-2，b=1或a=-6，b=9．
当a=-2，b=1时，f′（x）=3x2-4x+1=（3x-1）（x-1），
当
| 1 |
| 3 |
∴f（x）在x=1处取得极小值，与题意不符；
当a=-6，b=9时，f′（x）=3x2-12x+9=3（x-1）（x-3）
当x＜1时，f′（x）＞0，当＜x＜3时，f′（x）＜0，
∴f（x）在x=1处取得极大值，符合题意；
∴
| a |
| b |
| 6 |
| 9 |
| 2 |
| 3 |
故选A．
点评：本题考查函数在某点取得极值的条件，求得f′（x）=3x2+2ax+b，利用f′（1）=0，f（1）=10求得a，b是关键，考查分析、推理与运算能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜| π |
| 2 |
A、f(x)=2sin(πx+
| ||
B、f(x)=2sin(2πx+
| ||
C、f(x)=2sin(πx+
| ||
D、f(x)=2sin(2πx+
|