题目内容
已知函数的图象在点处的切线斜率为.
(Ⅰ)求实数的值;
(Ⅱ)判断方程根的个数,证明你的结论;
(Ⅲ)探究:是否存在这样的点,使得曲线在该点附近的左、右的两部分分别位于曲线在该点处切线的两侧?若存在,求出点A的坐标;若不存在,说明理由.
(1)
(2)方程有且只有一个实根.
(3)存在唯一点使得曲线在点附近的左、右两部分分别
位于曲线在该点处切线的两侧.
解析试题分析:解法一:(Ⅰ)因为,所以,
函数的图象在点处的切线斜率.
由得:. 4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,令.
因为,,所以在至少有一个根.
又因为,所以在上递增,
所以函数在上有且只有一个零点,即方程有且只有一
个实根. 7分
(Ⅲ)证明如下:
由,,可求得曲线在点处的切
线方程为,
即. 8分
记
,
则. 11分
(1)当,即时,对一切成立,
所以在上递增.
又,所以当时,当时,
即存在点,使得曲线在点A附近的左、右两部分分别位于曲线
在该点处切线的两侧. 12分
(2)当,即时,
时,;时,;
时,.
故在上单调递减,在上单调递增.
又,所以当时,;当时,,
即曲线在点附近的左、右两部分都位于曲线在该点处切线的
同侧. 13分
(3)当,即
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