Question

（2011•海淀区二模）某商场一号电梯从1层出发后可以在2、3、4层停靠．已知该电梯在1层载有4位乘客，假设每位乘客在2、3、4层下电梯是等可能的．
（Ⅰ） 求这4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的概率；
（Ⅱ） 用X表示4名乘客在第4层下电梯的人数，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析：（I）根据题意知每位乘客在第2层下电梯的概率都是

1

3

，至少有一名乘客在第2层下电梯的对立事件是没有人在第二层下电梯，根据对立事件和相互独立事件的概率公式得到结果．
（II）由题意知X的可能取值为0，1，2，3，4，由题意可得每个人在第4层下电梯的概率均为

1

3

，且每个人下电梯互不影响，得到变量符合二项分布，根据二项分布的公式写出分布列和期望．

解答：解：（Ⅰ） 设4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的事件为A，…（1分）
由题意可得每位乘客在第2层下电梯的概率都是

1

3

，…（3分）
则P(A)=1-P(

.

A

)=1-(

2

3

)4=

65

81

．…（6分）
（Ⅱ） X的可能取值为0，1，2，3，4，…（7分）
由题意可得每个人在第4层下电梯的概率均为

1

3

，且每个人下电梯互不影响，
所以，X～B(4，

1

3

)．…（9分）

X	0	1	2	3	4
P	16 81	32 81	24 81	8 81	1 81

…（11分）E(X)=4×

1

3

=

4

3

．…（13分）

点评：本题看出离散型随机变量的分布列和期望，本题解题的关键是看出变量符合二项分布的特点，后面用公式就使得运算更加简单