题目内容

如图，点An(xn，yn)是曲线y2＝2x(y≥0)上的点，点Bn(an，0)是x轴上的点，△Bn－1AnBn是以An为直角顶点的等腰直角三角形，其中n＝1，2，3，…，B0为坐标原点．

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；

(Ⅱ)设数列bn＝2n－1，求最小正整数m，使得对任意的n∈N*，当n＞m时，an＜bn成立．

答案：
解析：

　　解：(Ⅰ)∵点在曲线上，∴，．

　　∵△是等腰直角三角形，∴　　3分

　　∵，∴．

　　由可以解得，

　　∴，　　5分

　　∴，∴，　　7分

　　(Ⅱ)∵当时，，，当时，，，……，

　　可以猜想，当且时，成立．下面用数学归纳法证之　　9分

　　设时，成立，即，成立，

　　当时，

　　∵，∴，∴成立．

　　综上，时，对任意的，当时，成立　　12分


练习册系列答案
相关题目
精英家教网函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，且f（-1+x）=f（-1-x），当x∈[-2，-1]时，f（x）=t（x+2）3-t（x+2）（t∈R），记函数y=f（x）的图象在（
1
2
，f（
1
2
））处的切线为l，f′（
1
2
）=1．
（Ⅰ）求y=f（x）在[0，1]上的解析式；
（Ⅱ）点列B1（b1，2），B2（b2，3），…，Bn（bn，n+1）在l上，A1（x1，0），A2（x2，0），…，An（xn，0）依次为x轴上的点，如图，当n∈N*时，点An，Bn，An+1构成以AnAn+1为底边的等腰三角形．若x1=a（0＜a＜1），求数列{xn}的通项公式；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否存在实数a使得数列{xn}是等差数列？如果存在，写出a的一个值；如果不存在，请说明理由．
如图，P1（x1，y1）、P2（x2，y2）、…、Pn（xn，yn）（0＜y1＜y2＜…＜yn） 是曲线C：y2=3x（y≥0）上的n个点，点Ai（ai，0）（i=1，2，3，…n）在x轴的正半轴上，且△Ai-1AiPi是正三角形（A0是坐标原点）．
（1）求a1、a2、a3的值；
（2）求出点An（an，0）（n∈N+）的横坐标an和点An-1（an-1，0）（n＞0，n∈N+）横坐标an-1的关系式；
（3）根据（1）的结论猜想an关于n的表达式，并用数学归纳法证明．
（2006•南京二模）如图，已知曲线C：y=
1
x
，Cn：y=
1
x+2-n
(n∈N*)．从C上的点Qn（xn，yn）作x轴的垂线，交Cn于点Pn，再从点Pn作y轴的垂线，交C于点Qn+1（xn+1，yn+1），设x1=1，an=xn+1-xn，bn=yn-yn+1．
（Ⅰ）求Q1，Q2的坐标；
（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅲ）记数列{an•bn}的前n项和为Sn，求证：Sn＜
1
3
．
如图，已知曲线C：y=
1
x
，Cn：y=
1
x+2-n
（n∈N*）．从C上的点Qn（xn，yn）作x轴的垂线，交Cn于点Pn，再过点Pn作y轴的垂线，交C于点Qn+1（xn+1，yn+1）设，x1=1，an=xn+1-xn，bn=yn -yn+1．
（1）求点Q1、Q2的坐标；
（2）求数列{an} 的通项公式；
（3）记数列{an•yn+1} 的前n项和为Sn，求证sn＜
1
3
．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网