Question

16．已知函数f（x）=lnx-mx+1，m∈R．
（Ⅰ）若函数f（x）在x=1处取得极值，求m的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若不等式f（x）＜1在x∈[1，+∞）恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 先确定函数f（x）=lnx-mx+1的定义域，
（Ⅰ）求导$f'（x）=\frac{1}{x}-m$，从而令f′（1）=0，从而求m再检验即可；
（Ⅱ）讨论以确定导数$f'（x）=\frac{1}{x}-m$的正负，从而求函数的单调区间；
（Ⅲ）f（x）＜1可化为lnx-mx+1＜1，从而可得m＞$\frac{lnx}{x}$在[1，+∞）上恒成立；令g（x）=$\frac{lnx}{x}$，则g′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，从而化为最值问题即可．

解答 解：f（x）=lnx-mx+1的定义域为（0，+∞），
（Ⅰ）$f'（x）=\frac{1}{x}-m$，
∵f′（1）=0，
∴m=1；
经检验，符合题意．
（Ⅱ）∵$f'（x）=\frac{1}{x}-m$，
当m≤0时，f′（x）＞0恒成立，
则f（x）的单调递增区间为（0，+∞），
当m＞0时，由f′（x）＞0得 $0＜x＜\frac{1}{m}$，
由f′（x）＜0得$x＞\frac{1}{m}$，
综上所述，当m≤0时，f（x）的单调递增区间为（0，+∞），无单调减区间；
当m＞0时，f（x）的单调递增区间是$（0，\frac{1}{m}）$，单调递减区间是$（\frac{1}{m}，+∞）$．
（Ⅲ）f（x）＜1可化为lnx-mx+1＜1，
即m＞$\frac{lnx}{x}$在[1，+∞）上恒成立；
令g（x）=$\frac{lnx}{x}$，则g′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
则g（x）在（1，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减；
故g_max（x）=g（e）=$\frac{1}{e}$；
则m＞$\frac{1}{e}$；
故m的取值范围是（$\frac{1}{e}$，+∞）．

点评 本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，属于中档题．