Question

已知函数f（x）=x⁴-4x³+ax²-1在区间[0，1]上单调递增，在区间[1，2]上单调递减．
（1）求a的值；
（2）若斜率为24的直线是曲线y=f（x）的切线，求此直线方程；
（3）是否存在实数b，使得函数g（x）=bx²-1的图象与函数f（x）的图象恰有2个不同交点？若存在，求出实数b的值；若不存在，试说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由函数的单调区间知：x=1是函数的极值点，则f′（1）=0，由此可解得a值；
（2）求其切线方程，只需求出切点即可，由题意知f′（x）=24，解出x即为切点横坐标，从而求出切点；
（3）函数g（x）=bx²-1的图象与函数f（x）的图象恰有2个不同交点，等价于方程f（x）-g（x）=0有两个不同的解，从而问题转化为讨论方程解的问题解决．
解答：解：（1）f'（x）=4x³-12x²+2ax，
由函数f（x）=x⁴-4x³+ax²-1在区间[0，1]上单调递增，在区间[1，2]上单调递减，
知：x=1是函数f（x）的极大值点，所以f'（1）=0，解得a=4．
故a=4．
（2）由（1）知：f'（x）=4x³-12x²+8x，
令f'（x）=24，即x³-3x²+2x-6=0，（x-3）（x²+2）=0，
∴x=3，则切点为（3，8），
此切线方程为：y-8=24（x-3），即y=24x-64．
（3）令h（x）=f（x）-g（x），则h（x）=x⁴-4x³+（4-b）x²=x²（x²-4x+4-b），
由h（x）=0得：x=0，或x²-4x+4-b=0．--------（*）△=（-4）²-4（4-b）=4b，
①当△＜0，即b＜0时，（*）无实根，f（x）与g（x）的图象只有1个交点；
②当△=0，即b=0时，（*）的实数解为x=2，f（x）与g （x）的图象有2个交点；
③当△＞0，即b＞0时，若x=0是（*）的根，则b=4，方程的另一根为x=4，此时，f（x）与g（x）的图象有2个交点；
当b＞0且b≠4时，f（x）与g（x）的图象有3个不同交点．
综上，存在实数b=0或4，使函数f（x）与g（x）的图象恰有2个不同交点．
点评：本题考查导数的几何意义及应用导数研究函数的极值、单调性问题，考查了分类讨论思想、函数与方程思想及转化思想在解决问题中的运用．