题目内容

给出下列命题：①函数y=cos(
2
3
x+
π
2
)是奇函数；②存在实数α，使得sin α+cos α=
3
2
；③若α、β是第一象限角且α＜β，则tan α＜tan β；④x=
π
8
是函数y=sin(2x+
5π
4
)的一条对称轴方程；⑤函数y=sin(
2
3
x+
π
2
)的图象关于点(
π
12
，0)成中心对称图形．其中正确的序号为（　　）
A、①③B、②④C、①④D、④⑤
分析：①根据诱导公式化简，即可得到y=cos(
2
3
x+
π
2
)是奇函数，从而正确；
②求出sinα+cosα的最大值，发现最大值
2
＜
3
2
，从而可得到不存在实数α，使得sinα+cosα=
3
2
；
③找两个特殊角α、β，满足α＜β，比如45°＜30°+360°，但是tan45°＞tan（30°+360°）不满足要求，故不对；
④把x=
π
8
代入得到y=sin（2x+
5π
4
）=sin
3π
2
=-1，x=
π
8
是函数y=sin（2x+
5π
4
）的一条对称轴；
⑤把x=
π
12
代入得到y=sin(
2
3
x+
π
2
)=sin
π
2
=1，故点(
π
12
，0)不是函数y=sin(
2
3
x+
π
2
)的对称中心．
解答：解：①函数y=cos(
2
3
x+
π
2
)=-sin
2
3
x是奇函数；
②由sinα+cosα=
2
sin（α+
π
4
）的最大值为
2
，
因为
2
＜
3
2
，所以不存在实数α，使得sinα+cosα=
3
2
；
③α，β是第一象限角且α＜β．例如：45°＜30°+360°，
但tan45°＞tan（30°+360°），即tanα＜tanβ不成立；
④把x=
π
8
代入y=sin（2x+
5π
4
）=sin
3π
2
=-1，
所以x=
π
8
是函数y=sin（2x+
5π
4
）的一条对称轴；
⑤把x=
π
12
代入函数y=sin(
2
3
x+
π
2
)=sin
π
2
=1，
所以点(
π
12
，0)不是函数y=sin(
2
3
x+
π
2
)的对称中心．
综上所述，只有①④正确．
故选C．
点评：本题主要考查诱导公式的应用、正弦函数的基本性质--最值、对称性．三角函数的内容比较琐碎，要记忆的比较多，平时要注意公式的记忆和基础知识的积累．
练习册系列答案
相关题目
给出下列命题：
①函数f(x)=4cos(2x+
π
3
)的一条对称轴是直线x=-
5π
12

②已知函数f(x)=min{sinx，cosx}，则f(x)的值域为[-1，
2
2
]；
③若α，β均为第一象限角，且α＞β，则sinα＞sinβ．
其中真命题的个数为（　　）
A、0B、1C、2D、3
已知函数f（x）=
(3a-1)x-2  x＜1
logax         x≥1
，现给出下列命题：
①函数f（x）的图象可以是一条连续不断的曲线；
②能找到一个非零实数a，使得函数f （x）在R上是增函数；
③a＞1时函数y=f （|x|） 有最小值-2．
其中正确的命题的个数是（　　）
设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数l使得对于任意x∈M（M⊆D），有x+l∈D，且f（x+l）≥f（x），则称f（x）为M上的“l高调函数”．现给出下列命题：
①函数f（x）=2x为R上的“1高调函数”；
②函数f（x）=sin2x为R上的“A高调函数”；
③如果定义域为[-1，+∞）的函数f（x）=x2为[-1，+∞）上“m高调函数”，那么实数m的取值范围是[2，+∞）；
其中正确的命题是
①②③
①②③
．（写出所有正确命题的序号）
给出下列命题：
①函数y=sin|x|不是周期函数；        ②函数y=tanx在定义域内是增函数；
③函数y=|cos2x+
1
2
|的周期是
π
2
；    ④函数y=sin(x+
5π
2
)是偶函数．
其中正确的命题的序号是
①④
①④
．
给出下列命题：
①函数y=cos(
2
3
x+
π
2
)是奇函数；②函数y=sinx+cosx的最大值为
3
2
；
③函数y=tanx在第一象限内是增函数；
④函数y=sin(2x+
π
2
)的图象关于直线x=
π
12
成轴对称图形．
其中正确的命题序号是
①
①
．

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