Question

已知四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，G，H分别是CE，CF的中点．

(1)求证：平面AEF∥平面BDGH
(2)若平面BDGH与平面ABCD所成的角为60°，求直线CF与平面BDGH所成的角的正弦值．

Answer 1

（1）见解析（2）

(1)G，H分别为CE，CF的中点，
所以EF∥GH，
连接AC与BD交于O，因为四边形ABCD是菱形，所以O是AC的中点，
连接OG，OG是三角形ACE的中位线，OG∥AE，
又EF∩AE＝E，GH∩OG＝G，则平面AEF∥平面BDGH，
(2)因为BF⊥BD，平面BDEF⊥平面ABCD，
所以BF⊥平面ABCD，
取EF的中点N，连接ON，则ON∥BF，∴ON⊥平面ABCD，
建立空间直角坐标系如图所示，设AB＝2，BF＝t，

则B(1,0,0)，C(0，，0)，F(1,0，t)，
H，＝(1,0,0)，＝，
设平面BDGH的法向量为n₁＝(x，y，z)，
取n₁＝(0，－t，)，
平面ABCD的法向量n₂＝(0,0,1)，
|cos〈n₁，n₂〉|＝＝，所以t²＝9，t＝3.
所以＝(1，－，3)，设直线CF与平面BDGH所成的角为θ，
sin θ＝|cos〈，n₁〉|＝＝.