Question

在△ABC中，已知a比b长2，b比c长2，且最大角的正弦值是

3

2

，则△ABC的面积是（　　）

• A、

  15

  4

• B、

  15 3

  2

• C、

  21

  4

• D、

  15 3

  4

Answer 1

分析：根据题意可得边a是最大边，角A是最大角，由sinA=

3

2

算出A=120°．根据余弦定理a²=b²+c²-2bccosA的式子建立关于b的方程，解出b=5，进而得到c=3，利用三角形面积公式S=

1

2

bcsinA，即可算出△ABC的面积．

解答：解：∵在△ABC中，a比b长2，b比c长2，
∴a=b+2，c=b-2，可得a是最大边，角A是最大角．
又∵最大角的正弦值是

3

2

，
∴sinA=

3

2

，
结合A是△ABC的最大内角，可得A=120°．
根据余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，
得（b+2）²=b²+（b-2）²-2b（b-2）cos120°，
即（b+2）²=b²+（b-2）²+b（b-2），
整理得b²-5b=0，解得b=5（0舍去）．
∴c=b-2=3，
可得△ABC的面积S=

1

2

bcsinA=

1

2

×5×3×

3

2

=

15 3

4

．
故选：D

点评：本题已知三角形三条边的关系与最大角的正弦值，求三角形的面积．着重考查了三角形的面积公式、已知三角函数求角和余弦定理等知识，属于中档题．