题目内容
已知函数,函数的导函数,且,其中为自然对数的底数.
(1)求的极值;
(2)若,使得不等式成立,试求实数的取值范围;
(3)当时,对于,求证:.
(1)当时,没有极值;
当时,存在极大值,且当时,.
(2).
(3)见解析.
解析试题分析:(1) 首先确定函数的定义域为,求导数.为确定函数的极值,应讨论,的不同情况.
(2) 首先求出,将问题转化成,使得成立,
引入,将问题可转化为:
利用导数求的最大值,得解.
(3)当时,,构造函数,即,
应用导数研究函数的单调性、极值,得到.
方法比较明确,分类讨论、转化与化归思想的应用,是解决问题的关键.
试题解析:(1) 函数的定义域为,.
当时,,在上为增函数,没有极值; 1分
当时,,
若时,;若时,
存在极大值,且当时,
综上可知:当时,没有极值;当时,存在极大值,且当时, 4分
(2) 函数的导函数,
,, 5分
,使得不等式成立,
,使得成立,
令,则问题可转化为:
对于,,由于,
当时,,,,
,从而在上为减函数,
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