题目内容

已知点A(1,1),B(1,-1),C(
2
cosθ,
2
sinθ)(θ∈R),O为坐标原点.
(1)若|
BC
-
BA
|=
2
,求sin2θ的值;
(2)若实数m,n满足m
OA
+n
OB
=
OC
,求(m-3)2+n2的最大值.
分析:(1)根据向量的坐标计算(终点坐标减始点坐标)求出
BC
BA
,然后再根据向量减法和模的坐标计算结合条件|
BC
-
BA
|=
2
得出sinθ+cosθ=
2
2
再两边平方即可得解.
(2)根据向量相等和条件m
OA
+n
OB
=
OC
求出
m=
2
2
(cosθ+sinθ)
n=
2
2
(cosθ-sinθ)
然后再代入(m-3)2+n2中可得(m-3)2+n2=-3
2
(sinθ+cosθ)+10再结合辅助角公式可得(m-3)2+n2=-6sin(θ+
π
4
)+10从而可得出当sin(θ+
π
4
)=-1时,(m-3)2+n2取得最大值16.
解答:解:(1)∵|
BC
-
BA
|=|
AC
|,A(1,1),B(1,-1),C(
2
cosθ,
2
sinθ)
AC
=(
2
cosθ-1,
2
sinθ-1)
∴|
AC
|2=(
2
cosθ-1)2+(
2
sinθ-1)2=-2
2
(sinθ+cosθ)+4.
∴-2
2
(sinθ+cosθ)+4=2,即sinθ+cosθ=
2
2

两边平方得1+sin2θ=
1
2

∴sin2θ=-
1
2

(2)由已知得:(m,m)+(n,-n)=(
2
cosθ,
2
sinθ),
m+n=
2
cosθ
m-n=
2
sinθ

解得
m=
2
2
(cosθ+sinθ)
n=
2
2
(cosθ-sinθ)

∴(m-3)2+n2=m2+n2-6m+9,
=-3
2
(sinθ+cosθ)+10
=-6sin(θ+
π
4
)+10,
∴当sin(θ+
π
4
)=-1时,(m-3)2+n2取得最大值16.
点评:本题主要考察了向量的坐标计算、减法、模的坐标计算以及三角函数的化简求值,属常考题型,较难.解题的关键是掌握常用的变形技巧:通过sinθ
+
.
cosθ两边平方求出sin2θ:通过辅助角公式可将-3
2
(sinθ+cosθ)+10化为-6sin(θ+
π
4
)+10!
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