题目内容
已知点A(1,1),B(1,-1),C(
cosθ,
sinθ)(θ∈R),O为坐标原点.
(1)若|
-
|=
,求sin2θ的值;
(2)若实数m,n满足m
+n
=
,求(m-3)2+n2的最大值.
2 |
2 |
(1)若|
BC |
BA |
2 |
(2)若实数m,n满足m
OA |
OB |
OC |
分析:(1)根据向量的坐标计算(终点坐标减始点坐标)求出
,
,然后再根据向量减法和模的坐标计算结合条件|
-
|=
得出sinθ+cosθ=
再两边平方即可得解.
(2)根据向量相等和条件m
+n
=
求出
然后再代入(m-3)2+n2中可得(m-3)2+n2=-3
(sinθ+cosθ)+10再结合辅助角公式可得(m-3)2+n2=-6sin(θ+
)+10从而可得出当sin(θ+
)=-1时,(m-3)2+n2取得最大值16.
BC |
BA |
BC |
BA |
2 |
| ||
2 |
(2)根据向量相等和条件m
OA |
OB |
OC |
|
2 |
π |
4 |
π |
4 |
解答:解:(1)∵|
-
|=|
|,A(1,1),B(1,-1),C(
cosθ,
sinθ)
∴
=(
cosθ-1,
sinθ-1)
∴|
|2=(
cosθ-1)2+(
sinθ-1)2=-2
(sinθ+cosθ)+4.
∴-2
(sinθ+cosθ)+4=2,即sinθ+cosθ=
,
两边平方得1+sin2θ=
,
∴sin2θ=-
.
(2)由已知得:(m,m)+(n,-n)=(
cosθ,
sinθ),
∴
解得
∴(m-3)2+n2=m2+n2-6m+9,
=-3
(sinθ+cosθ)+10
=-6sin(θ+
)+10,
∴当sin(θ+
)=-1时,(m-3)2+n2取得最大值16.
BC |
BA |
AC |
2 |
2 |
∴
AC |
2 |
2 |
∴|
AC |
2 |
2 |
2 |
∴-2
2 |
| ||
2 |
两边平方得1+sin2θ=
1 |
2 |
∴sin2θ=-
1 |
2 |
(2)由已知得:(m,m)+(n,-n)=(
2 |
2 |
∴
|
解得
|
∴(m-3)2+n2=m2+n2-6m+9,
=-3
2 |
=-6sin(θ+
π |
4 |
∴当sin(θ+
π |
4 |
点评:本题主要考察了向量的坐标计算、减法、模的坐标计算以及三角函数的化简求值,属常考题型,较难.解题的关键是掌握常用的变形技巧:通过sinθ
cosθ两边平方求出sin2θ:通过辅助角公式可将-3
(sinθ+cosθ)+10化为-6sin(θ+
)+10!
+ |
. |
2 |
π |
4 |
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