Question

本小题满分12分

 设数列的前项和为，如果为常数，则称数列为“科比数列”．

 　　（1）等差数列的首项为1，公差不为零，若为“科比数列”，求的通项公式；

 　　（2）数列的各项都是正数，前项和为，若对任意 都成立，试推断数列是否为“科比数列”？并说明理由．

Answer 1

【解】（1）设等差数列的公差为，，因为，则，即．   整理得，．                      　　　　　………………3分

       因为对任意正整数上式恒成立，则，解得．　…… 5分

       故数列的通项公式是．                  　　　　　…………… 6分

   ⑵ 由已知，当时，．因为，所以． 　　…………7分

当时，，．

两式相减，得．

因为，所以=．                   　…………9分

显然适合上式，所以当时，．

于是．

因为，则，

所以数列是首项为1，公差为1的等差数列．

所以不为常数，故数列不是“科比数列”． ……12分