Question

（2013•深圳二模）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（　　）

A．y=2^x

B．y=sinx

C．y=log₂x

D．y=x|x|

Answer 1

分析：根据指数函数、对数函数都是非奇非偶函数，得到A、C两项不符合题意；根据正弦函数y=sinx在其定义域内既有增区间也有减区间，得到B项不符合题意；因此只有D项符合，再用函数奇偶性、单调性的定义加以证明，即可得到正确答案．

解答：解：对于A，因为指数函数在其定义域上是非奇非偶函数，
所以函数y=2^x不符合题意，故A不正确；
对于B，因为函数y=sinx在其定义域内既有增区间也有减区间，
所以函数y=sinx不符合题意，故B不正确；
对于C，因为对数函数的定义域为（0，+∞），
所以函数y=log₂x是非奇非偶函数，得C不正确；
对于D，设f（x）=x|x|，可得f（-x）=-x|-x|=-x|x|=-f（x）
所以函数y=x|x|是奇函数；
又∵当x≥0时，y=x|x|=x²，在（0，+∞）上是增函数，
且当x＜0时，y=x|x|=-x²，在（-∞，0）上是增函数
∴函数y=x|x|是R上的增函数
因此，函数y=x|x|是奇函数，且在其定义域内是函数，可得D正确
故选：D

点评：本题给出几何基本初等函数，要我们找出其中单调增的奇函数，着重考查了基本初等函数的单调性、奇偶性及其判断方法的知识，属于基础题．