Question

已知a＜b，且a²-a-6=0，b²-b-6=0，数列{a_n}、{b_n}满足a₁=1，a₂=-6a，，．
（1）求证数列{b_n}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（3）若{c_n}满足c₁=1，c₂=5，，试用数学归纳法证明：．

Answer 1

证明（1）∵a＜b，a²-a-6=0，b²-b-6=0，
∴a=-2，b=3，a₂=12．
∵，，
∴b_n+1=a_n+2-3a_n+1
=6a_n+1-9a_n+1-3a_n+1
=3（a_n+1-3a_n）
=3b_n （n∈N^*）．
又b₁=a₂-3a₁=9，
∴数列{b_n}是公比为3，首项为b₁的等比数列．
（2）依据（1）可以，得b_n=3ⁿ⁺¹（n∈N^*）．
于是，有a_n+1-3a_n=3ⁿ⁺¹（n∈N^*），即=1，（n∈N^*）．
因此，数列{}是首项为=，公差为1的等差数列．
故．
所以数列{a_n}的通项公式是a_n=（3n-2）•3^n-1（n∈N^*）．
（3）用数学归纳法证明：
（i）当n=2时，左边：c_n+ac_n-1=c₂-2c₁=3，
右边：，
即左边=右边，所以当n=2时结论成立．
（ii）假设当n=k．（k≥2，k∈N^*）时，结论成立，即．
当n=k+1时，左边=c_k+1+ac_k
=5c_k-6c_k-1-2c_k
=3（c_k+2c_k-1）=，
右边：=．
即左边=右边，因此，当n=k+1时，结论也成立．
根据（i）、（ii）可以断定，
c_n+ac_n-1=对n≥2的正整数都成立．
分析：（1）通过已知条件求出a，b利用，通过等比数列的定义证明数列{b_n}是等比数列；
（2）求出数列{b_n}的通项公式，然后利用（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（3）若{c_n}满足c₁=1，c₂=5，，直接利用数学归纳法的证明步骤，证明：．
点评：本题考查数学归纳法，等比关系的确定，数列递推式考查逻辑推理能力，计算能力．