Question

15．已知a${\;}^{\frac{1}{2}}$+a${\;}^{-\frac{1}{2}}$=3，则$\frac{{a}^{\frac{3}{2}}+{a}^{-\frac{3}{2}}}{{a}^{\frac{1}{2}}-{a}^{-\frac{1}{2}}}$=±$\frac{18\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 根据题意，先求出a+a^-1的值，再求出${a}^{\frac{3}{2}}$+${a}^{-\frac{3}{2}}$和${a}^{\frac{1}{2}}$-${a}^{-\frac{1}{2}}$的值，从而求出$\frac{{a}^{\frac{3}{2}}+{a}^{-\frac{3}{2}}}{{a}^{\frac{1}{2}}-{a}^{-\frac{1}{2}}}$的值．

解答 解：∵a${\;}^{\frac{1}{2}}$+a${\;}^{-\frac{1}{2}}$=3，
∴a+2+a^-1=9，
∴a+a^-1=7；
∴${a}^{\frac{3}{2}}$+${a}^{-\frac{3}{2}}$=（${a}^{\frac{1}{2}}$+${a}^{-\frac{1}{2}}$）（a-1+a^-1）=3×（7-1）=18，
∴${a}^{\frac{1}{2}}$-${a}^{-\frac{1}{2}}$=±$\sqrt{a-2{+a}^{-1}}$=±$\sqrt{7-2}$±$\sqrt{5}$，
∴$\frac{{a}^{\frac{3}{2}}+{a}^{-\frac{3}{2}}}{{a}^{\frac{1}{2}}-{a}^{-\frac{1}{2}}}$=$\frac{18}{±\sqrt{5}}$=±$\frac{18\sqrt{5}}{5}$．
故答案为：±$\frac{18\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了有理数指数幂的运算问题，也考查了乘方公式的应用问题，是基础题目．