Question

动点P在x轴与直线l：y=3之间的区域（含边界）上运动，且到点F（0，1）和直线l的距离之和为4．
（1）求点P的轨迹C的方程；
（2）过点Q（0，-1）作曲线C的切线，求所作的切线与曲线C所围成区域的面积．

Answer 1

分析：（1）设P（x，y），根据题意，得

x2+(y-1)2

+3-y=4，由此可知点P的轨迹C的方程是y=

1

4

x²（y≤3）．
（2）设过Q的直线方程为y=kx-1，代入抛物线方程，整理得x²-4kx+4=0．由此入手可求出所求的区域的面积．

解答：解：（1）设P（x，y），根据题意，得

x2+(y-1)2

+3-y=4，化简，得点P的轨迹C的方程y=

1

4

x²（y≤3）．（4分）
（2）设过Q的直线方程为y=kx-1，代入抛物线方程，整理得x²-4kx+4=0．
由△=16k²-16=0．解得k=±1．
于是所求切线方程为y=±x-1．
切点的坐标为（2，1），（-2，1）．
由对称性知所求的区域的面积为S=2

∫

2 0

[

1

4

x2-(x-1)]dx=

3

4

．（10分）

点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细求解．