题目内容
如图，已知四面体O-ABC中，E、F分别为AB，OC上的点，且AE=| 1 | 3 |
分析：本题可利用向量运算来解答，设空间一组基底
，
，
，利用空间向量基本定理表示出向量
，
，可利用向量的数量积以及夹角公式解得向量
，
的夹角余弦值cos＜
，
＞，从而得到异面直线的夹角余弦值|cos＜
，
＞|．
| BO |
| BC |
| BA |
| BF |
| OE |
| BF |
| OE |
| BF |
| OE |
| BF |
| OE |
解答：解：∵
=
(
+
)，
=
-
，
∴|
|2=
(|
|2+|
|2+2
•
)=
(4+1+2|
||
|cos60°)=
，|
|=
；|
|2=
|
|2+|
|2-
•
=4+4-4=4，|
|=2．
又
•
=
(
•
-|
|2+
•
-
•
)=
(2-4-1)=-
，
∴cos＜
，
＞=
=
=-
，
故异面直线OE与BF所成的角的余弦值为：
．
| BF |
| 1 |
| 2 |
| BO |
| BC |
| OE |
| 2 |
| 3 |
| BA |
| BO |
∴|
| BF |
| 1 |
| 4 |
| BO |
| BC |
| BO |
| BC |
| 1 |
| 4 |
| BO |
| BC |
| 7 |
| 4 |
| BF |
| ||
| 2 |
| OE |
| 4 |
| 9 |
| BA |
| BO |
| 4 |
| 3 |
| BA |
| BO |
| OE |
又
| BF |
| OE |
| 1 |
| 2 |
| 2 |
| 3 |
| BA |
| BO |
| BO |
| 2 |
| 3 |
| BC |
| BA |
| BC |
| BO |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
∴cos＜
| BF |
| OE |
| ||||
|
|
| -3 | ||
2
|
3
| ||
| 14 |
故异面直线OE与BF所成的角的余弦值为：
3
| ||
| 14 |
点评：本题考查空间几何体的概念，异面直线以及异面直线所成角的概念，向量法解答几何问题的“三步曲”思想的应用，考查了向量的数量积的运算律，夹角公式，空间向量基本定理的应用．
练习册系列答案
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．那么四面体P－ABC的直度为多少？说明理由；
，
为△AEF面积的函数，求
AB，F为中点，若AB＝3，BC＝1，BO＝2，且∠ABC＝90°，∠OBA＝∠OBC＝60°，求异面直线OE与BF所成角的余弦值.
如图，已知四面体O-ABC中，E、F分别为AB，OC上的点，且AE=
AB，F为中点，若AB=3，BC=1，BO=2，且∠ABC=90°，∠OBA=∠OBC=60°，求异面直线OE与BF所成角的余弦值．