Question

【题目】如图，椭圆的离心率为，且椭圆经过点，已知点，过点的动直线与椭圆相交于两点， 与关于轴对称.

（1）求的方程；

（2）证明： 三点共线.

Answer 1

【答案】(1) .(2)证明见解析.

【解析】试题分析：

（1）由椭圆的离心率为，且过点及可得可组成关于的方程组，解方程组可得椭圆方程。（2）①当直线与轴垂直时，结论成立；②当直线的斜率存在时，设出直线的方程，与椭圆方程联立消元后得到二次方程，利用根据系数的关系并结合斜率公式可得，从而可得结论成立。

试题解析：

（1）解：由已知得，

解得，

所以椭圆的方程为.

（2）证明：①当直线与轴垂直时，显然有三点共线。

②当直线的斜率存在时，设直线的方程为

由，

因为直线与椭圆交于A,B两点，

所以，

设的坐标分别为，

则，

因此，

易知点关于轴垂直的点的坐标为，

又

，

所以，

又， 有公共点，

所以三点共线.