Question

抛物线C的方程为y=ax²（a＜0），过抛物线C上一点P（x₀，y₀）（x₀≠0）作斜率为k₁，k₂的两条直线分别交抛物线C于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）两点（P、A、B三点互不相同）且满足k₂+λk₁=0（λ≠0且
λ≠-1），
（Ⅰ）求抛物线C的焦点坐标和准线方程；
（Ⅱ）设直线AB上一点M，满足，证明线段PM的中点在y轴上；
（Ⅲ）当λ=1时，若点P的坐标为（1，-1），求∠PAB为钝角时点A的纵坐标y₁的取值范围。

Answer 1

（Ⅰ）解：由抛物线C的方程，得焦点坐标为，准线方程为；
（Ⅱ）证明：设直线PA的方程为，
直线PB的方程为，
点的坐标是方程组的解，
将②式代入①式得=0，
于是，③
又点的坐标是方程组的解，
将⑤式代入④式得，
由已知得，， ⑥
设点M的坐标为，
由，
将③式和⑥式代入上式得，即，
所以线段PM的中点在y轴上。
（Ⅲ）解：因为点P（1，-1）在抛物线上，所以a=-1，
抛物线的方程为，
由③式知，
将λ=1代入⑥式得，
因此，直线PA、PB分别与抛物线C的交点A、B的坐标为
，
于是，
，
因∠PAB为钝角且P、A、B三点互不相同，
故必有，
求得k₁的取值范围为，
又点A的纵坐标y₁满足，
故当；当；
所以∠PAB为钝角时点A的纵坐标y₁的取值范围为。