Question

已知过点P（﹣2，﹣2）作圆x²+y²+Dx﹣2y﹣5=0的两切线关于直线x﹣y=0对称，设切点分别有A、B，求直线AB的方程．

Answer 1

解：由题意可知，圆的圆心在直线x﹣y=0上，或在过P（﹣2，﹣2）
且与直线x﹣y=0垂直的直线上，圆的圆心坐标为（﹣，1），
（1）若圆心在直线x﹣y=0上，
则﹣﹣1=0，解得D=﹣2，
此时圆的方程为：x²+y²﹣2x﹣2y﹣5=0①；
又以（1，1），（﹣2，﹣2）为直径的圆的方程为：
（x﹣1）（x+2）+（y﹣1）（y+2）=0，
即x²+y²+x+y﹣4=0②，
∴由①②可得故直线AB方程为：3x+3y+1=0；
（2）若圆心在过P（﹣2，﹣2）且与直线x﹣y=0垂直的直线上，
则圆心所在的直线l?的方程为：y﹣（﹣2）=﹣[x﹣（﹣2）]，
即x+y+4=0，
∵圆心坐标（﹣，1），故﹣+1+4=0，
解得D=10，故圆心坐标为（﹣5，1），
∴圆的方程为：x²+y²+10x﹣2y﹣5=0，
即（x+5）²+（y﹣1）²=21，
而得点P（﹣2，﹣2）在圆内，故无切线方程；
综上所述，直线AB的方程为：3x+3y+1=0．