Question

已知过点P（-2，-2）作圆x²+y²+Dx-2y-5=0的两切线关于直线x-y=0对称，设切点分别有A、B，求直线AB的方程．

Answer 1

分析：过点P（-2，-2）作圆x²+y²+Dx-2y-5=0的两切线关于直线x-y=0对称⇒圆的圆心在直线x-y=0上，或在过P（-2，-2）且与直线x-y=0垂直的直线上，分类讨论后解答即可．

解答：解：由题意可知，圆的圆心在直线x-y=0上，或在过P（-2，-2）且与直线x-y=0垂直的直线上，
圆的圆心坐标为（-

D

2

，1），
（1）若圆心在直线x-y=0上，则-

D

2

-1=0，解得D=-2，
此时圆的方程为：x²+y²-2x-2y-5=0①；
又以（1，1），（-2，-2）为直径的圆的方程为：（x-1）（x+2）+（y-1）（y+2）=0，即x²+y²+x+y-4=0②，
∴由①②可得故直线AB方程为：3x+3y+1=0；
（2）若圆心在过P（-2，-2）且与直线x-y=0垂直的直线上，则圆心所在的直线l′的方程为：y-（-2）=-[x-（-2）]，即x+y+4=0，
∵圆心坐标（-

D

2

，1），故-

D

2

+1+4=0，解得D=10，故圆心坐标为（-5，1），
∴圆的方程为：x²+y²+10x-2y-5=0，即（x+5）²+（y-1）²=21，而得点P（-2，-2）在圆内，故无切线方程；
综上所述，直线AB的方程为：3x+3y+1=0．

点评：本题考查直线与圆的位置关系，易错点在于①忽视圆心在直线x-y=0上，②当圆心在x+y+4=0上时，点P（-2，-2）在圆内，故无切线，着重考查分类讨论思想与转化思想，属于中档题．