Question

（2006•上海）已知复数w满足w-4=（3-2w）i（i为虚数单位），z=

5

w

+|w-2|，求一个以z为根的实系数一元二次方程．

Answer 1

分析：解法一：由复数w满足w-4=（3-2w）i（i为虚数单位），利用复数的运算法则可得w=2-i；再利用复数的运算法则可得z=3+i，再利用实数系数一元二次方程的虚根成对原理和根与系数的关系即可得出；
解法二：设w=a+b，（a，b∈Z），∴a+bi-4=3i-2ai+2b，根据复数相等即可得出w=2-i，以下同解法一．

解答：解：[解法一]∵复数w满足w-4=（3-2w）i，∴w（1+2i）=4+3i，
∴w（1+2i）（1-2i）=（4+3i）（1-2i），
∴5w=10-5i，∴w=2-i．
∴z=

5

2-i

+|2-i-2|=

5(2+i)

(2-i)(2+i)

+1=2+i+1=3+i．
若实系数一元二次方程有虚根z=3+i，则必有共轭虚根

.

z

=3-i．
∵z+

.

z

=6，z•

.

z

=10，
∴所求的一个一元二次方程可以是x²-6x+10=0．
[解法二]设w=a+b，（a，b∈Z），∴a+bi-4=3i-2ai+2b，
得

a-4=2b b=3-2a

解得

a=2 b=-1

，∴w=2-i，
以下解法同[解法一]．

点评：熟练掌握复数的运算法则、实数系数一元二次方程的虚根成对原理和根与系数的关系、复数相等是解题的关键．