题目内容

已知函数f(x)=ax2+1,g(x)=x3+bx,其中a>0,b>0.
(Ⅰ)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点P(2,c)处有相同的切线(P为切点),求a,b的值;
(Ⅱ)令h(x)=f(x)+g(x),若函数h(x)的单调递减区间为[-
a
2
,-
b
3
],求:
(1)函数h(x)在区间(一∞,-1]上的最大值M(a);
(2)若|h(x)|≤3,在x∈[-2,0]上恒成立,求a的取值范围.
分析:(I)根据曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(2,c)处具有公共切线,可知切点处的函数值相等,切点处的斜率相等,故可求a、b的值;
(II)(1)根据函数h(x)的单调递减区间为[-
a
2
,-
b
3
]得出a2=4b,构建函数h(x)=f(x)+g(x)=x3+ax2+
1
4
a2x+1,求导函数,利用导数的正负,可确定函数的单调区间,进而分类讨论,确定函数在区间(-∞,-1)上的最大值.
(2)由(1)知,函数h(x)在(-∞,-
a
2
)单调递增,在(-
a
2
,-
a
6
)单调递减,在(-
a
6
,+∞)上单调递增
,从而得出其极大值、极小值,再根据|h(x)|≤3,在x∈[-2,0]上恒成立,建立关于a的不等关系,解得a的取值范围即可.
解答:解:(I)f(x)=ax2+1(a>0),则f'(x)=2ax,k1=4a,g(x)=x3+bx,则f'(x)=3x2+b,k2=12+b,
由(2,c)为公共切点,可得:4a=12+b  ①
又f(2)=4a+1,g(2)=8+2b,
∴4a+1=8+2b,与①联立可得:a=
17
4
,b=5.
(2)由h(x)=f(x)+g(x)=x3+ax2+bx+1,
则h′(x)=3x2+2ax+b,
因函数h(x)的单调递减区间为[-
a
2
,-
b
3
],∴当x∈[-
a
2
,-
b
3
]时,3x2+2ax+b≤0恒成立,
此时,x=-
b
3
是方程3x2+2ax+b=0的一个根,得3(-
b
3
2+2a(-
b
3
)+b=0,得a2=4b,
∴h(x)=x3+ax2+
1
4
a2x+1
令h'(x)=0,解得:x1=-
a
2
,x2=-
a
6

∵a>0,∴-
a
2
<-
a
6
,列表如下:
 x  (-∞,-
a
2
-
a
2
 (-
a
2
,-
a
6
-
a
6
 (-
a
6
,+∞
 h′(x) +   -   +
 h(x)    极大值    极小值  
∴原函数在(-∞,-
a
2
)单调递增,在(-
a
2
,-
a
6
)单调递减,在(-
a
6
,+∞)上单调递增
①若-1≤-
a
2
,即a≤2时,最大值为h(-1)=a-
a2
4

②若-
a
2
<-1<-
a
6
,即2<a<6时,最大值为h(-
a
2
)=1
③若-1≥-
a
6
时,即a≥6时,最大值为h(-
a
2
)=1.
综上所述:当a∈(0,2]时,最大值为h(-1)=a-
a2
4
;当a∈(2,+∞)时,最大值为h(-
a
2
)=1.
(2)由(1)知,函数h(x)在(-∞,-
a
2
)单调递增,在(-
a
2
,-
a
6
)单调递减,在(-
a
6
,+∞)上单调递增
故h(-
a
2
)为极大值,h(-
a
2
)=1;h(-
a
6
)为极小值,h(-
a
6
)=-
a3
54
+1

∵|h(x)|≤3,在x∈[-2,0]上恒成立,又h(0)=1.
h(-2)≥-3
h(-
a
6
)≥-3
-
1
2
a2+4a-7≥-3
-
a3
54
+1≥-3
,解得
4-2
2
≤a≤4+2
2
a≤6

∴a的取值范围:4-2
2
a≤6.
点评:本题考查导数知识的运用,考查导数的几何意义,考查函数的单调性与最值,解题的关键是正确求出导函数和应用分类讨论的方法.
练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网