题目内容
已知函数f(x)=ax2+1,g(x)=x3+bx,其中a>0,b>0.
(Ⅰ)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点P(2,c)处有相同的切线(P为切点),求a,b的值;
(Ⅱ)令h(x)=f(x)+g(x),若函数h(x)的单调递减区间为[-
,-
],求:
(1)函数h(x)在区间(一∞,-1]上的最大值M(a);
(2)若|h(x)|≤3,在x∈[-2,0]上恒成立,求a的取值范围.
(Ⅰ)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点P(2,c)处有相同的切线(P为切点),求a,b的值;
(Ⅱ)令h(x)=f(x)+g(x),若函数h(x)的单调递减区间为[-
a |
2 |
| ||
3 |
(1)函数h(x)在区间(一∞,-1]上的最大值M(a);
(2)若|h(x)|≤3,在x∈[-2,0]上恒成立,求a的取值范围.
分析:(I)根据曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(2,c)处具有公共切线,可知切点处的函数值相等,切点处的斜率相等,故可求a、b的值;
(II)(1)根据函数h(x)的单调递减区间为[-
,-
]得出a2=4b,构建函数h(x)=f(x)+g(x)=x3+ax2+
a2x+1,求导函数,利用导数的正负,可确定函数的单调区间,进而分类讨论,确定函数在区间(-∞,-1)上的最大值.
(2)由(1)知,函数h(x)在(-∞,-
)单调递增,在(-
,-
)单调递减,在(-
,+∞)上单调递增
,从而得出其极大值、极小值,再根据|h(x)|≤3,在x∈[-2,0]上恒成立,建立关于a的不等关系,解得a的取值范围即可.
(II)(1)根据函数h(x)的单调递减区间为[-
a |
2 |
| ||
3 |
1 |
4 |
(2)由(1)知,函数h(x)在(-∞,-
a |
2 |
a |
2 |
a |
6 |
a |
6 |
,从而得出其极大值、极小值,再根据|h(x)|≤3,在x∈[-2,0]上恒成立,建立关于a的不等关系,解得a的取值范围即可.
解答:解:(I)f(x)=ax2+1(a>0),则f'(x)=2ax,k1=4a,g(x)=x3+bx,则f'(x)=3x2+b,k2=12+b,
由(2,c)为公共切点,可得:4a=12+b ①
又f(2)=4a+1,g(2)=8+2b,
∴4a+1=8+2b,与①联立可得:a=
,b=5.
(2)由h(x)=f(x)+g(x)=x3+ax2+bx+1,
则h′(x)=3x2+2ax+b,
因函数h(x)的单调递减区间为[-
,-
],∴当x∈[-
,-
]时,3x2+2ax+b≤0恒成立,
此时,x=-
是方程3x2+2ax+b=0的一个根,得3(-
)2+2a(-
)+b=0,得a2=4b,
∴h(x)=x3+ax2+
a2x+1
令h'(x)=0,解得:x1=-
,x2=-
;
∵a>0,∴-
<-
,列表如下:
∴原函数在(-∞,-
)单调递增,在(-
,-
)单调递减,在(-
,+∞)上单调递增
①若-1≤-
,即a≤2时,最大值为h(-1)=a-
;
②若-
<-1<-
,即2<a<6时,最大值为h(-
)=1
③若-1≥-
时,即a≥6时,最大值为h(-
)=1.
综上所述:当a∈(0,2]时,最大值为h(-1)=a-
;当a∈(2,+∞)时,最大值为h(-
)=1.
(2)由(1)知,函数h(x)在(-∞,-
)单调递增,在(-
,-
)单调递减,在(-
,+∞)上单调递增
故h(-
)为极大值,h(-
)=1;h(-
)为极小值,h(-
)=-
+1;
∵|h(x)|≤3,在x∈[-2,0]上恒成立,又h(0)=1.
∴
即
,解得
∴a的取值范围:4-2
≤a≤6.
由(2,c)为公共切点,可得:4a=12+b ①
又f(2)=4a+1,g(2)=8+2b,
∴4a+1=8+2b,与①联立可得:a=
17 |
4 |
(2)由h(x)=f(x)+g(x)=x3+ax2+bx+1,
则h′(x)=3x2+2ax+b,
因函数h(x)的单调递减区间为[-
a |
2 |
| ||
3 |
a |
2 |
| ||
3 |
此时,x=-
| ||
3 |
| ||
3 |
| ||
3 |
∴h(x)=x3+ax2+
1 |
4 |
令h'(x)=0,解得:x1=-
a |
2 |
a |
6 |
∵a>0,∴-
a |
2 |
a |
6 |
x | (-∞,-
|
-
|
(-
|
-
|
(-
| ||||||||||||
h′(x) | + | - | + | ||||||||||||||
h(x) | 极大值 | 极小值 |
a |
2 |
a |
2 |
a |
6 |
a |
6 |
①若-1≤-
a |
2 |
a2 |
4 |
②若-
a |
2 |
a |
6 |
a |
2 |
③若-1≥-
a |
6 |
a |
2 |
综上所述:当a∈(0,2]时,最大值为h(-1)=a-
a2 |
4 |
a |
2 |
(2)由(1)知,函数h(x)在(-∞,-
a |
2 |
a |
2 |
a |
6 |
a |
6 |
故h(-
a |
2 |
a |
2 |
a |
6 |
a |
6 |
a3 |
54 |
∵|h(x)|≤3,在x∈[-2,0]上恒成立,又h(0)=1.
∴
|
|
|
∴a的取值范围:4-2
2 |
点评:本题考查导数知识的运用,考查导数的几何意义,考查函数的单调性与最值,解题的关键是正确求出导函数和应用分类讨论的方法.
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