Question

8．设F₁、F₂是双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F₁PF₂=120°，则△F₁PF₂的面积为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 由题意可得F₁ （-$\sqrt{5}$，0），F₂（$\sqrt{5}$，0），由余弦定理可得 PF₁•PF₂，由S=$\frac{1}{2}$PF₁•PF₂sin120°，求得△F₁PF₂的面积即为所求

解答 解：由题意可得双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1，a=2，b=1，c=$\sqrt{5}$，
得F₁ （-$\sqrt{5}$，0），F₂（$\sqrt{5}$，0），
又F₁F₂²=20，|PF₁-PF₂|=4，
由余弦定理可得：
F₁F₂²=PF₁²+PF₂²-2PF₁•PF₂cos120°=（PF₁-PF₂）²+3PF₁•PF₂=16+3PF₁•PF₂=20，
∴PF₁•PF₂=$\frac{4}{3}$
∴△F₁PF₂的面积S=$\frac{1}{2}$PF₁•PF₂sin120°=$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{3}$

点评 本题考查双曲线的定义和标准方程，余弦定理，以及双曲线的简单性质的应用，求出PF₁•PF₂的值，是解题的关键