Question

如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC=BC=EB=2DC=2，∠ACB=120°，P，Q分别为AE、AB的中点．
（I）证明：PQ∥平面ACD；
（II）求异面直线AE与BC所成角的余弦值；
（III）求平面ACD与平面ABE所成锐二面角的大小．

Answer 1

分析：（I）由已知中P、Q分别是AE、AB的中点，由三角形中位线定理可得PQ∥BE，结合EB∥DC，我们易得PQ∥DC，由线面平行的判定定理，易得PQ∥平面ACD；
（II）取BE的中点F，连接QF，DF，DQ，则∠DFQ就是异面直线AE与BC所成的角，解三角形DFQ，即可求出异面直线AE与BC所成角的余弦值；
（III）由线面平行的性质定理可得平面ACD与平面ABE的交线与DC平行，则∠CAB就是平面ACD与平面ABE所成锐二面角的平面角，解三角形ABC即可得到平面ACD与平面ABE所成锐二面角的大小．

解答：证明：（I）由已知：P、Q分别是AE、AB的中点，
所以，PQ∥BE，PQ=

1

2

BE，
又DC∥BE，DC=

1

2

BE
所以，PQ∥DC
所以，PQ∥平面ACD   …（4分）
解：（II）取BE的中点F，连接QF，DF，DQ
FQ∥AE，DF∥BC
∴∠DFQ就是异面直线AE与BC所成的角
易知CQ=1，AB=2

3

，AE=4，QF=2，DF=BC=2，DQ=

2

由余弦定理：可得cos∠DFQ=

3

4

…(8分)
（III）由线面平行的性质定理可得
平面ACD与平面ABE的交线与DC平行
∴∠CAB就是平面ACD与平面ABE所成锐二面角的平面角
在△ABC中，AC=BC，∠ACB=120°，
∴∠CAB=30°…（12分）

点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，异面直线及其所成的角，直线与平面平行的判定，其中（I）的关键是证得PQ∥DC，（II）的关键是构造异面直线AE与BC所成的角∠DFQ，（III）的关键是证得CAB就是平面ACD与平面ABE所成锐二面角的平面角．