题目内容
【题目】已知函数,设
,其中
,方程
和方程
根的个数分别为
.
(1)求的值;
(2)证明:.
【答案】(1)(2)答案见解析
【解析】
(1)因为,令
,可得
,结合已知,即可求得答案.
(2)先得到在
上的单调性和值域,且
,再用数学归纳法证明结论,即可求得答案.
(1)当时:
得
或
.
(2)
当时,
单调递增,且
;
当时,
单调递减,且
;
下面用数学归纳证明:方程,方程
,
方程,方程
的根的个数都相等,且为
.
①当时,方程
,方程
,
方程,方程
的根的个数相等,其为
,上述命题成立;
②假设时,方程
,方程
,
方程,方程
根的个数都相等,且为
,
则当时,有
,
当时,
,方程
的根的个数为
,
当时,
,方程
的根的个数为
方程
的根的个数为
.
同理可证:方程,方程
,方程
的根的个数都相等,且为
.
由①②可知,命题成立.
又,则
,且
,
.
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