题目内容

已知二次函数y=ax2+2x+c(c>0)的导函数的图象与直线y=2x平行,若二次函数图上的动点P到直线y=2x的最小距离为
5
,则二次函数的解析式为
 
分析:由已知中二次函数y=ax2+2x+c(c>0)的导函数的图象与直线y=2x平行,我们求出函数的导函数后,易求出a值,又由二次函数图上的动点P到直线y=2x的最小距离为
5
,我们结合c>0,我们易得函数y=ax2+2x+c(c>0)的图象与直线y=2x+5相切,联立方程后,可得c值,代入即可求出函数的解析式.
解答:解:∵二次函数y=ax2+2x+c(c>0)
∴y'=2ax+2(c>0)
又二次函数y=ax2+2x+c(c>0)的导函数的图象与直线y=2x平行,
∴2a=2
∴a=1
又∵二次函数图上的动点P到直线y=2x的最小距离为
5

则函数y=ax2+2x+c(c>0)的图象与直线y=2x+5相切
解得c=5
故y=x2+2x+5
故答案为:y=x2+2x+5
点评:本题考查的知识点是函数的解析式的求法,导数的求法,直线平行的性质及曲线到直线最小距离,其中根据已知构造关于a,c的方程是解答本题的关键.
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