题目内容
19．已知函数f（x）=|x-a|-|x+4|的最大值为5．（1）若a＞-4，将f（x）写成分段函数的形式；
（2）求实数a的值．
分析 （1）运用零点分区间的方法，讨论当x≤-4时，当-4＜x＜a时，当x≥a时，去绝对值即可得到所求函数的解析式；
（2）运用绝对值不等式的性质||x-a|-|x+4||≤|（x-a）-（x+4）|=|a+4|，可得最大值，解方程可得a．
解答 解：（1）当x≤-4时，f（x）=a-x+x+4=a+4；
当-4＜x＜a时，f（x）=a-x-（x+4）=a-4-2x；
当x≥a时，f（x）=x-a-（x+4）=-a-4．
即有f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{a+4，x≤-4}\\{a-4-2x，-4＜x＜a}\\{-a-4，x≥a}\end{array}\right.$；
（2）由绝对值不等式的性质可得，
||x-a|-|x+4||≤|（x-a）-（x+4）|=|a+4|，
当（x-a）（x+4）≥0，取得等号．
即有|a+4|=5，
解得a=1或-9．
点评 本题考查绝对值不等式的性质，考查零点分区间去绝对值的方法，以及化简计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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14．下列集合中，不同于另外三个集合的是（ ）
| A． | {x|x=1} | B． | {x=1} | C． | {1} | D． | {y|（y-1）2=0} |
8．若定义域在[0，1]的函数f（x）满足：
①对于任意x1，x2∈[0，1]，当x1＜x2时，都有f（x1）≥f（x2）；
②f（0）=0；
③$f（\frac{x}{3}）=\frac{1}{2}$f（x）；
④f（1-x）+f（x）=-1，
则f（$\frac{1}{3}$）+f（$\frac{9}{2017}$）等于（ ）
①对于任意x1，x2∈[0，1]，当x1＜x2时，都有f（x1）≥f（x2）；
②f（0）=0；
③$f（\frac{x}{3}）=\frac{1}{2}$f（x）；
④f（1-x）+f（x）=-1，
则f（$\frac{1}{3}$）+f（$\frac{9}{2017}$）等于（ ）
| A． | -$\frac{9}{16}$ | B． | -$\frac{17}{32}$ | C． | -$\frac{174}{343}$ | D． | -$\frac{512}{1007}$ |