Question

【题目】己知下列三个方程x2+4ax﹣4a+3=0，x2+（a﹣1）x+a2=0，x2+2ax﹣2a=0至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：假设没有一个方程有实数根，则：
16a2﹣4（3﹣4a）＜0（1）
（a﹣1）2﹣4a2＜0（2）
4a2+8a＜0（3）（5分）
解之得： ＜a＜﹣1
故三个方程至少有一个方程有实根的a的取值范围是：{a|a≥﹣1或a≤ }．
【解析】至少有一个方程有实根的对立面是三个方程都没有根，由于正面解决此问题分类较多，而其对立面情况单一，故求解此类问题一般先假设没有一个方程有实数根，然后由根的判别式解得三方程都没有根的实数a的取值范围，其补集即为个方程 x2+4ax﹣4a+3=0，x2+（a﹣1）x+a2=0，x2+2ax﹣2a=0至少有一个方程有实根成立的实数a的取值范围．此种方法称为反证法
【考点精析】利用反证法与放缩法对题目进行判断即可得到答案，需要熟知常见不等式的放缩方法：①舍去或加上一些项②将分子或分母放大（缩小)．